Dopocitej.cz - Přejít na úvodní stránku

JEHLAN ČTYŘBOKÝ:

VÝPOČET POVRCHU, POVRCHU PLÁŠTĚ, OBJEMU, POVRCHOVÉ PŘÍČKY, VÝŠKY A DÉLEK STRAN ČTYRBOKÉHO JEHLANU ZE VZTAHŮ:



Geometrické znázornění čtyřbokého jehlanu s vyznačenými délkami hrany A a B, výškou a výškou na hranu A a B
Vzorce pro výpočet obsahu povrchu, povrchu pláště, objemu a výšek čtyřbokého jehlanu


TIP: pokud máte zadanou jinou veličinu k výpočtu čtyřbokého jehlanu, můžete ji dopočítat ze vztahů pro obdélník nebo pravoúhlý trojúhelník

Zadejte jakékoliv tři veličiny a zvolte všechny jednotky
VÝSLEDKY
Délka strany a =
Délka strany podstavy b =
Výška jehlanu h =
Váška na stranu a ha =
Výška na stranu b hb =
Povrch jehlanu S =
Povrch pláště jehlanu Sp =
Objem jehlanu V =
a
b
h
ha
hb
S
Sp
V


pozn.: výsledné hodnoty jsou zaokrouhlovány na tři desetinná místa
Definice čtyřbokého jehlanu

Definice čtyřbokého jehlanu

Čtyřboký jehlan je těleso, které má jednu čtyřbokou podstavu (nejčastěji čtverec nebo obdélník) a čtyři trojúhelníkové boční stěny, které se sbíhají ve společném bodě – vrcholu jehlanu.

  • Má 5 vrcholů, 8 hran a 5 stěn.
  • Boční stěny jsou trojúhelníky sdílející vrchol jehlanu.
  • Podle typu podstavy rozlišujeme pravidelný čtyřboký jehlan (podstava je čtverec) a obecný čtyřboký jehlan (podstava obdélník).
  • Pokud je výška kolmá na podstavu, jde o kolmý čtyřboký jehlan.
Výška čtyřbokého jehlanu

Výška čtyřbokého jehlanu

Výška jehlanu (v) je kolmá vzdálenost vrcholu jehlanu od roviny podstavy.

Pokud je podstava čtverec se stranou a a boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky, potom výška se dá spočítat pomocí výšky boční stěny (vs):

  • v = √(vs² - (a/2)²)

Výška vždy prochází těžištěm podstavy.

Výška na hranu podstavy

Výška na hranu podstavy

Výška na hranu podstavy (vh) je výška trojúhelníkové boční stěny jehlanu vedená z vrcholu jehlanu na hranu podstavy.

U pravidelného čtyřbokého jehlanu (podstava čtverec se stranou a, výška jehlanu v) platí:

  • vh = √(v² + (a/2)²)

Tato výška leží v rovině boční stěny a používá se při výpočtu povrchu pláště i úhlů stěn.

Objem čtyřbokého jehlanu

Objem čtyřbokého jehlanu

Objem (V) čtyřbokého jehlanu se počítá jako třetina objemu hranolu se stejnou podstavou a výškou:

  • V = (1/3) · Sp · v

Pokud má podstava tvar čtverce se stranou a, platí:

  • V = (1/3) · a² · v
Povrch čtyřbokého jehlanu

Povrch čtyřbokého jehlanu

Povrch (S) čtyřbokého jehlanu je součtem obsahu podstavy a čtyř bočních trojúhelníkových stěn:

  • S = Sp + Spláště

U pravidelného čtyřbokého jehlanu (podstava čtverec se stranou a, boční stěny se stejnou výškou vs) platí:

  • S = a² + 2a · vs
Povrch pláště čtyřbokého jehlanu

Povrch pláště čtyřbokého jehlanu

Povrch pláště (Spláště) tvoří čtyři trojúhelníkové stěny, které mají společný vrchol. Každá z těchto stěn má základnu délky a a výšku vs.

  • Spláště = 4 · (1/2 · a · vs) = 2a · vs
Úhlopříčka podstavy čtyřbokého jehlanu

Úhlopříčka podstavy čtyřbokého jehlanu

Pokud má podstava tvar čtverce se stranou a, délka její úhlopříčky (d) je:

  • d = a√2

Tato úhlopříčka se často používá pro určení vztahů mezi výškou, boční výškou a polohou vrcholu jehlanu.

Zajímavosti o čtyřbokém jehlanu

Zajímavosti o čtyřbokém jehlanu

  • Nejznámějším příkladem čtyřbokého jehlanu je egyptská pyramida.
  • Pokud je podstava čtverec a vrchol je přímo nad jejím středem, nazývá se pravidelný čtyřboký jehlan.
  • Jehlany jsou častým motivem v architektuře díky své stabilitě a estetickému tvaru.
  • Výška, výška na hranu a úhel stěny vytvářejí základní vztahy používané při návrhu střech a šikmých konstrukcí.
  • V matematice je čtyřboký jehlan příkladem polyedru se čtyřúhelníkovou podstavou a trojúhelníkovými stěnami.