Dopocitej.cz - Přejít na úvodní stránku

VÍCEBOKÝ PRAVIDELNÝ HRANOL:

VÝPOČET POVRCHU, POVRCHU PLÁŠTĚ, OBJEMU, DÉLKY STRANY, POČTU STRAN A VÝŠKY PRAVIDELNÉHO VÍCEBOKÉHO HRANOLU ZE VZTAHŮ:


Geometrické znázornění pravidelného vícebokého hranolu s vyznačennou délkou hrany a výškou
Vzorce pro výpočet obsahu povrchu, povrchu pláště a objemu pravidelného více bokého hranolu


TIP: pokud máte zadanou jinou veličinu k výpočtu hranolu, můžete ji dopočítat ze vztahů pro pravidelný mnohouhelník

Zadejte jakékoliv tři veličiny a zvolte všechny jednotky
VÝSLEDKY
Délka strany podstavy a =
Počet stran hranolu n =
Výška hranolu h =
Povrch hranolu S =
Povrch pláště hranolu Sp =
Objem hranolu V =
 a
 n
 h
 S
 Sp
 V


pozn.: výsledné hodnoty jsou zaokrouhlovány na tři desetinná místa
Definice pravidelného vícebokého hranolu

Definice pravidelného vícebokého hranolu

Pravidelný víceboký hranol je hranaté těleso, které má dvě rovnoběžné a shodné podstavy ve tvaru pravidelného n-úhelníku a n bočních stěn ve tvaru obdélníků (u kolmého hranolu) nebo rovnoběžníků (u šikmého hranolu).

  • Má 2n vrcholů, 3n hran a n + 2 stěn,
  • boční hrany jsou rovnoběžné a všechny mají stejnou délku,
  • všechny podstavné hrany mají stejnou délku a.

Pokud jsou boční hrany kolmé k podstavám, jedná se o kolmý pravidelný hranol. Tento hranol může být trojboký, čtyřboký, pěti- nebo víceboký podle počtu stran podstavy (n).

Výška podstavy pravidelného vícebokého hranolu

Výška podstavy pravidelného vícebokého hranolu

Výška podstavy (va) je výška pravidelného n-úhelníku tvořícího podstavu hranolu.

U pravidelného n-úhelníku se dá určit pomocí poloměru vepsané kružnice (r) nebo pomocí délky strany a:

  • va = a / (2 · tan(180° / n))

Tato výška se používá při výpočtu obsahu podstavy i celého hranolu.

Objem pravidelného vícebokého hranolu

Objem pravidelného vícebokého hranolu

Objem (V) pravidelného vícebokého hranolu je dán součinem obsahu podstavy a výšky hranolu:

  • V = Sp · v

Obsah pravidelného n-úhelníku s délkou strany a je:

  • Sp = (n · a²) / (4 · tan(π / n))

Celkově tedy:

  • V = (n · a² · v) / (4 · tan(π / n))
Povrch pravidelného vícebokého hranolu

Povrch pravidelného vícebokého hranolu

Povrch (S) je součet obsahů obou podstav a pláště:

  • S = 2 · Sp + Spláště

kde Spláště je povrch pláště tvořeného n obdélníky. Pro kolmý pravidelný hranol se stranou podstavy a, výškou v a počtem stran n platí:

  • S = 2 · (n · a²) / (4 · tan(π / n)) + n · a · v
Povrch pláště pravidelného vícebokého hranolu

Povrch pláště pravidelného vícebokého hranolu

Povrch pláště (Spláště) je součet obsahů všech bočních stěn hranolu. Každá stěna je obdélník s délkou a a výškou v.

  • Spláště = n · a · v

Tento povrch odpovídá ploše rozvinutého pláště hranolu, který tvoří obdélník s rozměry o = n · a (obvod podstavy) a v.

Úhlopříčka pravidelného vícebokého hranolu

Úhlopříčka pravidelného vícebokého hranolu

Úhlopříčka (u) spojuje dva vrcholy hranolu, které neleží v jedné podstavě. U kolmého hranolu závisí na délce úhlopříčky podstavy a výšce hranolu.

  • u = √(d² + v²)

kde d je úhlopříčka pravidelného n-úhelníku. Pro šestiúhelník například platí d = 2a.

Zajímavosti o pravidelném vícebokém hranolu

Zajímavosti o pravidelném vícebokém hranolu

  • Podle počtu stran n-úhelníku může jít o trojboký, čtyřboký, pěti- nebo víceboký hranol.
  • Pokud se počet stran n zvětšuje, hranol se tvarově blíží válci.
  • Všechny stěny jsou shodné, pokud je hranol kolmý a podstava pravidelná.
  • Pravidelný šestihranný hranol se často používá jako model včelí buňky nebo krystalů.
  • Je základem pro mnoho architektonických a technických tvarů díky své symetrii a jednoduchým vztahům pro objem i povrch.