Jak vypočítat obsah pravidelného mnohoúhelníku?

Obsah pravidelného n-úhelníku se vypočítá podle vzorce S = (n × a²) / (4 × tan(π / n)), kde a je délka strany a n počet stran.

Jak vypočítat obvod pravidelného mnohoúhelníku?

Obvod se určí jednoduše jako součin počtu stran a délky jedné strany: O = n × a.

Jak zjistit vnitřní úhel pravidelného mnohoúhelníku?

Vnitřní úhel pravidelného n-úhelníku je dán vzorcem α = ((n − 2) × 180°) / n.

Jaký je vztah mezi poloměrem opsané a vepsané kružnice?

Poloměry opsané (R) a vepsané (r) kružnice jsou propojené vztahem r = R × cos(π / n).

Kolik úhlopříček má pravidelný mnohoúhelník?

Počet úhlopříček se určí podle vzorce: d = n(n − 3) / 2. Například pětiúhelník má 5, šestiúhelník 9 úhlopříček.

Jaký je středový úhel pravidelného mnohoúhelníku?

Středový úhel odpovídající jedné straně je β = 360° / n, kde n je počet stran.

MNOHOÚHELNÍK

MNOHOÚHELNÍK - PRAVIDELNÝ:

VÝPOČET OBSAHU, OBVODU, STRANY, ÚHLU, KRUŽNICE VEPSANÉ A OPSANÉ PRAVIDELNÉHO MNOHOÚHELNÍKU ZE VZTAHŮ:

Zadejte jakékoliv dvě veličiny a zvolte všechny jednotky

VÝSLEDKY

Délka strany mnohoúhelníku a =
Počet stran mnohoúhelníku n =
Uhel α =		°
Poloměr kružnice opsané R =
Poloměr kružnice vepsané r =
Obsah mnohoúhleníku S =
Obvod mnohoúhelníku O =

a
n
α		°
R
r
S
O

pozn.: výsledné hodnoty jsou zaokrouhlovány na tři desetinná místa

Definice pravidelného mnohoúhelníku

Pravidelný mnohoúhelník je rovinný geometrický útvar, který má:

všechny strany stejně dlouhé,
všechny vnitřní úhly stejně velké,
všechny vrcholy leží na jedné kružnici (kružnici opsané).

Označuje se jako n-úhelník, kde n je počet jeho stran. Pokud je n = 3, jde o rovnostranný trojúhelník; pokud n = 4, jde o čtverec; pro vyšší hodnoty vznikají pravidelné pětiúhelníky, šestiúhelníky apod.

Obvod pravidelného mnohoúhelníku

Obvod (O) pravidelného n-úhelníku se vypočítá podle vzorce:

O = n · a

kde n je počet stran a a je délka jedné strany. Tento vztah je přímý, protože všechny strany jsou shodné.

Obsah pravidelného mnohoúhelníku

Obsah (S) pravidelného n-úhelníku se dá vyjádřit několika způsoby, nejčastěji:

S = (1/2) · O · r_v — pomocí obvodu a poloměru vepsané kružnice,
S = (n · a²) / (4 · tan(π / n)) — přímo pomocí délky strany a počtu stran.

Tento vzorec vychází z rozdělení mnohoúhelníku na n shodných rovnoramenných trojúhelníků.

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku

Poloměr kružnice opsané (r_o) vyjadřuje vzdálenost středu mnohoúhelníku od jeho vrcholů. Vypočítá se podle vztahu:

r_o = a / (2 · sin(π / n))

Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží právě na této kružnici.

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku

Poloměr kružnice vepsané (r_v) určuje vzdálenost středu mnohoúhelníku od jeho stran. Lze jej vypočítat podle vzorce:

r_v = a / (2 · tan(π / n))

Vepsaná kružnice se dotýká všech stran mnohoúhelníku a její střed se shoduje se středem kružnice opsané.

Zajímavosti o pravidelném mnohoúhelníku

Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou souměrné podle více os a mají rotační symetrii.
Čím více má mnohoúhelník stran, tím více se blíží tvaru kružnice.
Pravidelné mnohoúhelníky se používají při tvorbě dlažeb, mozaik a geometrických vzorů.
Existuje jen pět pravidelných konvexních mnohostěnů (tzv. Platónská tělesa), která z těchto mnohoúhelníků vycházejí.
Ve stavebnictví i v přírodě se často objevuje pravidelný šestiúhelník – např. v včelích plástech.