Dopocitej.cz - Přejít na úvodní stránku

TROJÚHELNÍK ROVNOSTRANNÝ:

VÝPOČET OBSAHU, OBVODU, STRANY, VÝŠKY ROVNOSTRANNÉHO TROJÚHELNÍKU A POLOMĚRU KRUŽNIC TROJŮHELNÍKU VEPSANÉ A OPSANÉ ZE VZTAHŮ:


Geometrické znázornění rovnostranného trojúhelníku s vyznačenými poloměry kružnic vepsané a opsané, stranou a výškou
Vzorce pro obvod, obsah, výšku a poloměry vepsané a opsané kružnice rovnostranného trojúhelníku


Zadejte jakoukoliv jednu veličinu a zvolte všechny jednotky
VÝSLEDKY
Délka strany trojúhelníku a =
Výška trojúhelníku h =
Pol. kružnice trojúhel. vepsaná r =
Pol. kružnice trojúhel. opsaná R =
Obsah trojúhelníku S =
Obvod trojúhelníku O =
 a
 h
 r
 R
 S
 O


pozn.: výsledné hodnoty jsou zaokrouhlovány na tři desetinná místa
Definice rovnostranného trojúhelníku

Definice rovnostranného trojúhelníku

Rovnostranný trojúhelník je zvláštní případ trojúhelníku, který má:

  • všechny tři strany stejně dlouhé (a = b = c),
  • všechny vnitřní úhly shodné a mají velikost 60°,
  • všechny výšky, těžnice, osy stran i úhlů se protínají v jednom bodě.

Rovnostranný trojúhelník je pravidelný trojúhelník a patří mezi nejdokonalejší geometrické tvary.

Obvod rovnostranného trojúhelníku

Obvod rovnostranného trojúhelníku

Obvod (O) se vypočítá jednoduše jako součet všech tří shodných stran:

O = 3a

kde a je délka jedné strany trojúhelníku.

Výška rovnostranného trojúhelníku

Výška rovnostranného trojúhelníku

Výška (v) rovnostranného trojúhelníku se počítá pomocí Pythagorovy věty z poloviny strany a přepony:

v = (a√3) / 2

Výška zároveň půlí stranu, úhel i výšku trojúhelníku, takže všechny tři výšky se protínají ve stejném bodě.

Obsah rovnostranného trojúhelníku

Obsah rovnostranného trojúhelníku

Obsah (S) lze určit pomocí délky strany a podle vztahu:

S = (a²√3) / 4

Tento vzorec vychází z obecného vztahu pro obsah trojúhelníku S = (a · v) / 2 a dosazením výšky v = (a√3)/2.

Poloměr kružnice vepsané rovnostrannému trojúhelníku

Poloměr kružnice vepsané rovnostrannému trojúhelníku

Poloměr kružnice vepsané (rv) se vypočítá jako:

rv = (a√3) / 6

Kružnice se dotýká všech tří stran a její střed se shoduje se středem těžiště a výšek trojúhelníku.

Poloměr kružnice opsané rovnostrannému trojúhelníku

Poloměr kružnice opsané rovnostrannému trojúhelníku

Poloměr kružnice opsané (ro) lze vypočítat podle vzorce:

ro = (a√3) / 3

Kružnice opsaná prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku a její střed je totožný se středem kružnice vepsané.

Zajímavosti o rovnostranném trojúhelníku

Zajímavosti o rovnostranném trojúhelníku

  • Je to nejpravidelnější trojúhelník – všechny jeho geometrické prvky jsou shodné a symetrické.
  • Všechny výšky, těžnice, osy i kružnice mají společný střed.
  • Jeho tvar se často používá v architektuře, logách a symbolech díky vizuální harmonii a stabilitě.
  • Rovnostranný trojúhelník je základní prvek šestiúhelníku – dlažby, včelí plástve a krystalové struktury.
  • Je součástí rovnostranných trojrozměrných těles – např. čtyřstěnu (tetraedru).