Jak vypočítat obsah elipsy?

Obsah elipsy se vypočítá jednoduše pomocí vzorce S = πab, kde a je hlavní a b vedlejší poloosa.

Jak vypočítat obvod elipsy?

Obvod elipsy se přibližně počítá podle vzorce O ≈ π [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Přesný výpočet zahrnuje eliptické integrály.

Jak zjistit výstřednost elipsy?

Výstřednost se určí ze vztahu e = √(1 − (b² / a²)), kde a je hlavní a b vedlejší poloosa.

Jaký je vztah mezi poloosami a ohnisky elipsy?

Vztah mezi poloosami a ohnisky je dán rovnicí c² = a² − b², kde c je vzdálenost ohniska od středu.

Kdy se elipsa stává kruhem?

Elipsa se stává kruhem, pokud jsou obě poloosy stejné, tedy a = b. V tom případě je výstřednost e = 0.

ELIPSA

ELIPSA:

VÝPOČET OBSAHU, OBVODU A DÉLEK POLOOS ELIPSY ZE VZTAHŮ:

Pozor!

Zrejme mate vypnutou podporu JavaScriptu.

V tomto pripade vypocet nebude funkcní!!!

Geometrické znázornění elipsy s vyznačenými délkami poloos

Zadejte jakékoliv dvě veličiny a zvolte všechny jednotky

VÝSLEDKY

Délka poloosy elipsy a =
Délka poloosy elipsy b =
Obsah elipsy S =
Přibližný obvod elipsy O =

a
b
S
O

pozn.: výsledné hodnoty jsou zaokrouhlovány na tři desetinná místa

Definice elipsy

Elipsa je rovinný uzavřený křivkový útvar, který vznikne jako množina všech bodů, pro něž součet vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) F₁ a F₂ je konstantní.

Ohniska leží na hlavní ose elipsy.
Střed elipsy je středem úsečky spojující obě ohniska.
Elipsu lze považovat za „protažený kruh“ – kruh je zvláštním případem elipsy, když a = b.

Elipsa má dvě osy – hlavní osu (délka 2a) a vedlejší osu (délka 2b).

Obsah elipsy

Obsah elipsy (S) se vypočítá obdobně jako obsah kruhu, ale s využitím obou poloos:

S = π · a · b

kde a je délka hlavní poloosy a b délka vedlejší poloosy. Tento vztah platí pro všechny elipsy a ukazuje, že obsah závisí na obou rozměrech.

Obvod elipsy

Obvod elipsy (o) nelze vyjádřit jednoduchým vzorcem, existují však přibližné výpočty:

o ≈ π · [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))] (Ramanujanův vzorec)
nebo jednodušeji: o ≈ 2π · √((a² + b²) / 2)

Přesný obvod elipsy se dá spočítat pouze pomocí eliptických integrálů.

Rovnice elipsy

Středová rovnice elipsy se středem v počátku souřadnicového systému má tvar:

(x² / a²) + (y² / b²) = 1

Pokud je elipsa posunuta, její rovnice se upraví na tvar:

((x − x₀)² / a²) + ((y − y₀)² / b²) = 1

kde (x₀, y₀) jsou souřadnice středu elipsy.

Ohniska elipsy

Vzdálenost ohnisek od středu elipsy je dána vztahem:

c = √(a² − b²)

kde a je hlavní poloosa a b vedlejší poloosa. Platí tedy, že ohniska mají souřadnice (±c, 0) (pokud je hlavní osa vodorovná).

Excentricita elipsy (e) určuje, jak „protažená“ elipsa je:

e = c / a, přičemž 0 ≤ e < 1

Čím více se e blíží nule, tím je elipsa podobnější kruhu.

Zajímavosti o elipse

Elipsa je kuželosečka – vzniká průnikem roviny s pláštěm kužele.
Odrazový zákon elipsy: paprsek vycházející z jednoho ohniska se po odrazu od obvodu elipsy odrazí do druhého ohniska.
Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (Keplerův první zákon).
Eliptické tvary se využívají v architektuře (kupole, klenby, amfiteátry).
Speciálním případem elipsy je kruh, když a = b.